Question

已知线段OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=1，OC=2．若线段OA，OB，OC在直线OP上的射影长相等，则其射影长为

 

．

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：首先利用勾股定理求出解得：AC=BC=

5

，AB=

2

，利用余弦定理：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB解得：cos∠ACB=

4

5

进一步求得：sin∠ACB=

3

5

，再求出S△ABC=

1

2

•

5

•

5

sin∠ACB=

3

2

最后利用：利用三棱锥的体积相等，V_C-AOB=V_O-ABC解得高，即射影的长．

解答： 解：线段OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=1，OC=2．若线段OA，OB，OC在直线OP上的射影长相等．
解得：AC=BC=

5

，AB=

2

利用余弦定理：
AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB
解得：cos∠ACB=

4

5

则：sin∠ACB=

3

5

S△ABC=

1

2

•

5

•

5

sin∠ACB=

3

2

利用三棱锥的体积相等
V_C-AOB=V_O-ABC

1

3

•

1

2

•1•1•2=

1

3

•

3

2

h
解得：h=

2

3

故答案为：

2

3

点评：本题考查的知识要点：线面的夹角，直线在平面上的射影，余弦定理的应用，三角形的面积及相关的运算问题，属于中等题型．