Question

18．如图，树顶A离地面4.8 m，树上另一点B离地面2.4m，在离地面1.6m的C处看此树，离此树多少m时看A，B的视角最大（　　）

• A． 2.2
• B． 2
• C． 1.8
• D． 1.6

Answer 1

分析 设他应离此树x米，进而表示出tan∠BCD与tan∠ACD，利用两角和与差的正切函数公式表示出tan∠ACB，利用基本不等式求出视角最大时x的值即可．

解答 解：设他应离此树x米，
在Rt△BCD中，BD=0.8米，CD=x米，
∴tan∠BCD=$\frac{0.8}{x}$，
在Rt△ACD中，AD=3.2米，CD=x米，
∴tan∠ACD=$\frac{3.2}{x}$，
在△ABC中，tan∠ACB=tan（∠ACD-∠BCD）
=$\frac{tan∠ACD-tan∠BCD}{1+tan∠ACDtan∠BCD}$=$\frac{\frac{3.2}{x}-\frac{0.8}{x}}{1+\frac{3.2×0.8}{{x}^{2}}}$=$\frac{2.4}{x+\frac{2.56}{x}}$，
∵x+$\frac{2.56}{x}$≥3.2，当且仅当x=$\frac{2.56}{x}$，即x=1.6时取等号；离此树1.6m时看A，B的视角最大；
故选D．

点评 此题考查了基本不等式在实际问题的应用；由题意画出示意图，根据直角三角形的内角公式列出关于所求的基本不等式的形式，进一步求最值是关键．