Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+（c-2b）cosA=0．
（1）求∠A的大小；
（2）若△ABC的面积为2

3

且a=2

3

，求b+c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由正弦定理化简acosC+（c-2b）cosA=0，由两角和的正弦公式和诱导公式求出cosA，由内角的范围求出A；
（2）由三角形面积公式和题意求出bc，由余弦定理和整体代换求出b+c的值．

解答： 解：（1）由题意知，acosC+（c-2b）cosA=0，
由正弦定理得，sinAcosC+（sinC-2sinB）cosA=0，
sinAcosC+sinCcosA-2sinBcosA=0，
则sin（A+C）-2sinBcosA=0，
由A+B+C=π得A+C=π-B，则sin（A+C）=sinB≠0代入上式得，
sinB-2sinBcosA=0，即cosA=

1

2

，
又0＜A＜π，则A=

π

3

；
（2）因为△ABC的面积为2

3

，所以

1

2

bcsinA=2

3

，则bc=8，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bc×

1

2

，
则12=（b+c）²-3bc=（b+c）²-3×8，
解得b+c=6．

点评：本题考查正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式和诱导公式，以及整体代换，属于中档题．