Question

4．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$与函数$y=\sqrt{x}（x≥0）$的图象交于点P，若函数$y=\sqrt{x}$在点P处的切线过双曲线左焦点F（-1，0），则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+3}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率．

解答 解：设P（m，$\sqrt{m}$），函数y=$\sqrt{x}$的导数为：y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，∴切线的斜率为$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，
又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（-1，0），∴$\frac{1}{2\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{m}}{m+1}$，解得m=1，
∴P（1，1），
双曲线的左焦点F₁（-1，0），则双曲线的右焦点F₂（1，0），既c=1．
则|PF₁|-|PF₂|=2a，即$\sqrt{4+1}-\sqrt{0+1}$=2a
解得a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
所以离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故选A．

点评 本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求．