Question

9．设函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点$（{\frac{π}{2}，1}）$．
（1）求y=f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和最大值；
（2）如何由函数$f（x-\frac{π}{4}）$的图象得到函数f（2x）的图象．

Answer 1

分析 （1）先求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点$（{\frac{π}{2}，1}）$，
∴$msin\frac{π}{2}+cos\frac{π}{2}=1$，∴m=1，
∴$f（x）=sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，∴函数的最小正周期T=2π．
当$x=\frac{π}{4}+2kπ（k∈Z）$时，f（x）的最大值为$\sqrt{2}$．
（2）因为函数$f（x-\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sinx，
先把$f（x-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}sinx$图象上每一点向左平移$\frac{π}{4}$得到函数y=$\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）$的图象，
再把函数y=$\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）$的图象上任一点纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，
得y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）=f（2x）的图象．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性和最大值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．