Question

12．数列{a_n}各项均为正数，且对任意n∈N^*，满足a_n+1=a_n+ca_n²（c＞0且为常数）．
（Ⅰ）若a₁，2a₂，3a₃依次成等比数列，求a₁的值（用常数c表示）；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{1+c{a}_{n}}$，S_n是数列{b_n}的前n项和，
（i）求证：$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=-\frac{c}{{1+c{a_n}}}$； 
（ii）求证：S_n＜S_n+1＜$\frac{1}{c{a}_{1}}$．

Answer 1

分析 （I）对任意n∈N^*，满足a_n+1=a_n+ca_n²（c＞0且为常数）．可得a₂=${a}_{1}+c{a}_{1}^{2}$．a₃=${a}_{2}+c{a}_{2}^{2}$．根据a₁，2a₂，3a₃依次成等比数列，可得$（2{a}_{2}）^{2}$=a₁•3a₃，a₂＞0，代入化为4a₂=3a₁（1+ca₂）．再代入化简解出即可得出．
（II）（i）由a_n+1=a_n+ca_n²（c＞0且为常数），a_n＞0．代入$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}+c{a}_{n}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$．化简整理即可证明．
（ii）由（i）可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-$\frac{c}{1+c{a}_{n}}$．b_n=$\frac{1}{1+c{a}_{n}}$=$\frac{1}{c}$$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，利用“累加求和“方法可得S_n，再利用单调性即可证明．

解答 （I）解：对任意n∈N^*，满足a_n+1=a_n+ca_n²（c＞0且为常数）．∴a₂=${a}_{1}+c{a}_{1}^{2}$．a₃=${a}_{2}+c{a}_{2}^{2}$．
∵a₁，2a₂，3a₃依次成等比数列，∴$（2{a}_{2}）^{2}$=a₁•3a₃，∴$4{a}_{2}^{2}$=a₁•3（${a}_{2}+c{a}_{2}^{2}$），a₂＞0，化为4a₂=3a₁（1+ca₂）．
∴4（${a}_{1}+c{a}_{1}^{2}$）=3a₁[1+c（${a}_{1}+c{a}_{1}^{2}$）]，a₁＞0，化为：3c²x²-cx-1=0，解得x=$\frac{1+\sqrt{13}}{6c}$．
（II）证明：（i）由a_n+1=a_n+ca_n²（c＞0且为常数），a_n＞0．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}+c{a}_{n}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}（\frac{1}{1+c{a}_{n}}-1）$=-$\frac{c}{1+c{a}_{n}}$．即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-$\frac{c}{1+c{a}_{n}}$．
（ii）由（i）可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-$\frac{c}{1+c{a}_{n}}$．
∴b_n=$\frac{1}{1+c{a}_{n}}$=$\frac{1}{c}$$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，
∴S_n=$\frac{1}{c}$$[（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）]$=$\frac{1}{c}$$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$．
由a_n+1=a_n+ca_n²＞a_n＞0，可得-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$$＜-\frac{1}{{a}_{n+2}}$．
∴S_n＜$\frac{1}{c}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+2}}）$=S_n+1＜$\frac{1}{c{a}_{1}}$．
∴S_n＜S_n+1＜$\frac{1}{c{a}_{1}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的单调性、“累加求和”方法、方程的解法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．