Question

已知正数a，b，c满足a≤b+c≤3a，b²≤a（a+c）≤3b²．求

c-b

a

的取值范围．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式的解法及应用,直线与圆

分析：令

c

a

=y＞0，

b

a

=x＞0，由于正数a，b，c满足a≤b+c≤3a，b²≤a（a+c）≤3b²．可得1≤

b

a

+

c

a

≤3，(

b

a

)2≤1+

c

a

≤3(

b

a

)2，即1≤x+y≤3，x²≤1+y≤3x²，x，y＞0．
如图所示，ABCD内部的部分．作直线y=x+m，把A（1，0），C（1，2）代入即可得出．

解答： 解：令

c

a

=y＞0，

b

a

=x＞0，
∵正数a，b，c满足a≤b+c≤3a，b²≤a（a+c）≤3b²．
∴1≤

b

a

+

c

a

≤3，(

b

a

)2≤1+

c

a

≤3(

b

a

)2，
即1≤x+y≤3，x²≤1+y≤3x²，x，y＞0．
如图所示，ABCD内部的部分．
A（1，0），C（1，2）．
作直线y=x+m，可知：把C（1，2）代入可得：m=1．
把C（1，0）代入可得：m=-1．
∴-1＜y-x≤1．
∴

c-b

a

的取值范围是（-1，1]．

点评：本题考查了不等式的性质、线性规划的有关知识，考查了数形结合的思想方法，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．