Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+3．
（Ⅰ）证明{a_n+3}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂（a_n+3），求数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）把a_n+1=2a_n+3代入

an+1+3

an+3

化简，根据等比数列的定义即可证明结论，再由等比数列的通项公式求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简b_n，利用裂项相消法求数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和T_n．

解答： （Ⅰ）证明：由题意得，a_n+1=2a_n+3，
所以

an+1+3

an+3

=

2an+6

an+3

=2
又a₁=1，则a₁+3=4，
所以{a_n+3}是以4为首项、以2为公比的等比数列，
则a_n+3=4•2^n-1，即a_n=2ⁿ⁺¹-3；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，b_n=log₂（a_n+3）=n+1，
所以

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
则T_n=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．

点评：本题考查等比数列的定义、通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，是常考的题型．