Question

7．如图，点P为等腰直角△ABC内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P作PQ∥AB，交AC于点Q．记∠PAB=θ，△APQ面积为S（θ）．
（1）求S（θ）关于θ的函数；
（2）求S（θ）的最大值，并求出相应的θ值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理求出PQ，再利用三角形的面积公式，即可求S（θ）关于θ的函数；
（2）利用辅助角公式化简函数，即可得出结论．

解答 解：（1）在△APQ中，由正弦定理可得$\frac{PQ}{sin（45°-θ）}=\frac{1}{sin135°}$，
∴PQ=$\sqrt{2}$sin（45°-θ），
∴S（θ）=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$sin（45°-θ）•1•sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（45°-θ）•sinθ（0°＜θ＜45°），
（2）S（θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（45°-θ）•sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）•sinθ=$\frac{1}{4}$sin2θ-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2θ}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin（2θ+45°）-$\frac{1}{4}$，
∴2θ+45°=90°，即θ=22.5°时，S（θ）的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查辅助角公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．