Question

4．设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＜x，则不等式（x+6）²f（x+6）-f（-1）＞0的解集为（　　）

• A． （-∞，-6）
• B． （-∞，-7）
• C． （-7，0）
• D． （-7，-6）

Answer 1

分析 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论

解答 解：设g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）
∵函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，2f（x）+xf′（x）＜x，
∴2xf（x）+x²f′（x）＞x²＞0，
∴g′（x）=[x²f（x）]′＞0，
∴函数g（x）=x²f（x）在（-∞，0）上是增函数，
∵（x+6）²f（x+6）-f（-1）＞0，
∴g（x+6）＞g（-1），
∴x+6＞-1，且x+6＜0，
∴-7＜x＜-6，
∴不等式的解集为（-7，-6）．
故选：D．

点评 本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．