Question

16．已知双曲线H：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（m＞0）的右焦点到直线l：4x-3y-18=0的距离为2，且双曲线的实轴长小于4，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与直线l交于点A（n，-2），直线l₁：x=$\sqrt{3}$被椭圆E截得的弦长为4$\sqrt{2}$．
（1）求双曲线H的标准方程和渐近线方程；
（2）求椭圆E的标准方程和焦点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点到直线的距离公式求出双曲线的右焦点坐标，利用实轴长进行检验，从而得出双曲线的标准方程和渐近线方程；
（2）求出A点坐标，利用椭圆的对称性得出椭圆与直线l₁的交点坐标，列方程组求出a²，b²，从而得出椭圆的标准方程和焦点坐标．

解答 解：（1）设双曲线的右焦点为F（c，0）（c＞0），
则F到直线l的距离d=$\frac{|4c-18|}{\sqrt{16+9}}$=2，解得c=2或c=7．
∵双曲线的实轴长小于4，即2m＜4，∴m＜2．
若c=2，则m=$\sqrt{{c}^{2}-3}$=1，符合题意；
若c=7，则m=$\sqrt{{c}^{2}-3}$=$\sqrt{46}$，不符合题意；
∴双曲线H的标准方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．
（2）把y=-2代入直线l的方程4x-3y-18=0得x=3，
∴A（3，-2），
又直线l₁：x=$\sqrt{3}$被椭圆E截得的弦长为4$\sqrt{2}$．
∴椭圆E经过点（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{8}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=15，b²=10，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$．
焦点坐标为（-$\sqrt{5}$，0），（$\sqrt{5}$，0）．

点评 本题考查了圆锥曲线的定义，性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．