Question

8．某高中组织数学知识竞赛，采取答题闯关的形式，分两种题型，每种题型设两关．“数学文化”题答对一道得5分，“数学应用”题答对一道得10分，答对一道题即可进入下一关，否则终止比赛．有甲、乙、丙三人前来参赛，设三人答对每道题的概率分别是$\frac{3}{4}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$，三人答题互不影响．甲、乙选择“数学文化”题，丙选择“数学应用”题．
（Ⅰ）求乙、丙两人所得分数相等的概率；
（Ⅱ）设甲、丙两人所得分数之和为随机变量X，求X的分布列与期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）乙、丙所得分数相等时，应为0分或10分，计算对应的概率值即可；
（Ⅱ）根据题意，X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，求出对应的概率值，写出X的分布列，再计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）乙、丙所得分数相等时，应为0分或10分，
其概率为P=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{18}$；
（Ⅱ）设甲、丙两人所得分数之和为随机变量X，则X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，
其概率为P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{6}$，
P（X=5）=$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{9}$，
P（X=10）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{36}$，
P（X=15）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{18}$，
P（X=20）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{36}$，
P（X=25）=$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{18}$，
P（X=30）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{9}$；
∴X的分布列为：

X	0	5	10	15	20	25	30
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{7}{36}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{9}$

数学期望为EX=0×$\frac{1}{6}$+5×$\frac{1}{9}$+10×$\frac{11}{36}$+15×$\frac{1}{18}$+20×$\frac{7}{36}$+25×$\frac{1}{18}$+30×$\frac{1}{9}$=$\frac{235}{18}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了分析与计算能力，是综合题．