Question

19．设函数f（x）=e^x+2x-a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上存在点（x₀，y₀），使得f（f（y₀））=y₀，则实数a的取值范围是[-1+e^-1，e+1]．

Answer 1

分析 由椭圆的性质可知y₀∈[-1，1]．函数f（x）=e^x+2x-a在[-1，1]上单调递增．利用函数f（x）的单调性可以证明f（y₀）=y₀．令函数f（x）=e^x+2x-a=x，化为a=e^x+x．令g（x）=e^x+x （x∈[-1，1]）．利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上存在点（x₀，y₀），由椭圆的性质可知：y₀∈[-1，1]．
由f（x）=e^x+2x-a，x∈[-1，1]，求导f′（x）=e^x+2x，
当x∈[-1，1]，f′（x）＞0，
∴函数f（x）=e^x+2x-a在[-1，1]上单调递增．
下面证明f（y₀）=y₀．
假设f（y₀）=c＞y₀，则f（f（y₀））=f（c）＞f（y₀）=c＞y₀，不满足f（f（y₀））=y₀．
同理假设f（y₀）=c＜y₀，则不满足f（f（y₀））=y₀．
综上可得：f（y₀）=y₀．
令函数f（x）=e^x+2x-a=x，化为a=e^x+x．
令g（x）=e^x+x（x∈[-1，1]）．
g′（x）=e^x+1＞0，
∴函数g（x）在x∈[-1，1]单调递增．
∴e^-1-1≤g（x）≤e+1．
∴a的取值范围是[-1+e^-1，e+1]，
故答案为：[-1+e^-1，e+1]．

点评 本题考查椭圆的性质，考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．