Question

20．已知关于x的不等式x|x-m|-2≥m．
（1）当m=0时，求该不等式的解集；
（2）当x∈[2，3]时，该不等式恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，若m=0时，原不等式为：x|x|-2≥0，进而变形可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{{x}^{2}≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-{x}^{2}≥2}\end{array}\right.$，解可得x的取值范围，即可得答案；
（2）根据题意，由x∈[2，3]，将原不等式变形可得：|x-m|≥$\frac{m+2}{x}$，①，分m≤-2与m＞-2两种情况讨论，分别求出m的取值范围，综合可得答案．

解答 解：（1）根据题意，当m=0时，原不等式为：x|x|-2≥0，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{{x}^{2}≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-{x}^{2}≥2}\end{array}\right.$，
解可得x≥$\sqrt{2}$，
故原不等式的解集为{x|x≥$\sqrt{2}$}；
（2）当x∈[2，3]时，原不等式变形可得：|x-m|≥$\frac{m+2}{x}$，①
当m≤-2时，m+2≤0，①式恒成立；
当m＞-2时，即m+2＞0时，
①式等价于x-m≥$\frac{m+2}{x}$或x-m≤-$\frac{m+2}{x}$，
化简可得：x²-2≥m（x+1）或x²+2≤m（x+1），②
又由x∈[2，3]，则有x+1＞0且x-1＞0，
则②可以变形为m≤$\frac{{x}^{2}-2}{x+1}$或m≥$\frac{{x}^{2}+2}{x-1}$；
又由$\frac{{x}^{2}-2}{x+1}$=x-$\frac{1}{x+1}$-1，$\frac{{x}^{2}+2}{x-1}$=x-1+$\frac{3}{x-1}$+2；
又由x∈[2，3]，则（$\frac{{x}^{2}-2}{x+1}$）_min=$\frac{2}{3}$，（$\frac{{x}^{2}+2}{x-1}$）_max=6；
则有m≤$\frac{2}{3}$或m≥6；
故m的取值范围是{m|m≤$\frac{2}{3}$或m≥6}．

点评 本题考查绝对值不等式的运用以及解法，关键是熟练掌握绝对值三角不等式．