Question

6．钝角三角形ABC的面积是$\frac{1}{2}$，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，则AC=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面积公式可求sinB，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用余弦定理即可得解AC的值．

解答 解：因为钝角三角形ABC的面积是$\frac{1}{2}$，AB=c=1，BC=a=$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当B为钝角时，cosB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=$\sqrt{5}$．
当B为锐角时，cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=1+2-2=1，即AC=1，此时AB²+AC²=BC²，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．