Question

16．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=S_n+2n+2（n∈N^*），
（1）当n∈N^*且n≥2时，数列{a_n+2}是否是等比数列？给出你的结论并加以证明； 
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）n≥2时，a_n+1=S_n+2n+2，a_n=S_n-1+2n+2，两式相减可得：a_n+1+2=2（a_n+2），即可得出结论．
（2）a₂=5，故n≥2时，${a_n}+2=7•{2^{n-2}}$，即${a_n}=7•{2^{n-2}}-2$，a₁=1不满足上式，即可得出．

解答 解：（1）n≥2时，a_n+1=S_n+2n+2，a_n=S_n-1+2n+2，
两式相减得：a_n+1-a_n=a_n+2，即a_n+1+2=2（a_n+2），
故当n∈N^*且n≥2时，数列{a_n+2}是等比数列．
（2）a₂=5，故n≥2时，${a_n}+2=7•{2^{n-2}}$，即${a_n}=7•{2^{n-2}}-2$，a₁=1不满足上式，
故${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1，n=1\\ 7•{2^{n-2}}-2，n≥2\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的定义与通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．