Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（4，3），$\overrightarrow{b}$=（1，-1）．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值；
（Ⅱ）若向量3$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow{b}$与λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$平行，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的夹角公式计算即可，
（Ⅱ）根据向量的坐标运算和向量平行的条件即可求出．

解答 解：（Ⅰ）设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{4×1+3×（-1）}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}•\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
（Ⅱ）向量$\overrightarrow{a}$=（4，3），$\overrightarrow{b}$=（1，-1）．
∴3$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow{b}$=（12，9）+（4，-4）=（16，5），
λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（4λ-1，3λ+1），∵向量3$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow{b}$与λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$平行平，
∴16（3λ+1）=5（4λ-1）
解得λ=-$\frac{3}{4}$ 
故所求λ的值-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了向量的数量积公式向量的夹角公式，以及向量平行的条件，属于中档题．