Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2．
（Ⅰ）求A₁B与B₁D₁所成角的大小；
（Ⅱ）求三棱锥A-BDA₁的体积．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间角

分析：（Ⅰ）连接BD，DA₁，容易得到∠DBA₁=60°，且BD∥B₁D₁，所以A₁B与B₁D₁所成的角为60°；
（Ⅱ）通过图形可看出V三棱锥A-BDA1=V三棱锥A1-ABD=

1

3

•2•2=

4

3

．

解答： 解：（Ⅰ）如图，连接BD，DA₁，则B₁D₁∥BD，且△BA₁D为等边三角形；
∴∠DBA₁=60°；
即A₁B与B₁D₁所成角的大小为60°；
（Ⅱ）由图可看出三棱锥A-BDA₁的体积等于三棱锥A₁-ABD的体积；
∵A₁A⊥底面ABD，所以三棱锥A₁-ABD的高是A₁A=2，S_底面ABD=2；
∴V三棱锥A1-ABD=

1

3

•2•2=

4

3

；
∴三棱锥A-BDA₁的体积为

4

3

．

点评：考查异面直线所成角的概念及求法，三棱锥的体积公式．