Question

已知函数f（x）=x²-px+3．
（1）若f（0）=f（4），求不等式f（x）≤0的解集；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求p的取值范围；
（3）当p=2时，若函数在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出对称轴，得到p的值，再解不等式即可．
（2）函数为开口向上，故对称轴小于等于1，解得即可，
（3）利用对称轴，求出函数的最值即可．

解答： 解：（1）∵f（0）=f（4），
∴f（x）的对称轴为x=2，
∴p=4，
所以不等式f（x）≤0，
即为x²-4x+3≤0，
所以其解集为{x|1≤x≤3}．
（2）∵函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以函数f（x）的对称轴x=

p

2

在直线x=1的左侧或与x=1重合，
即

p

2

≤1，
∴p≤2．
（3）当p=2时，f（x）=x²-2x+3．其对称轴为x=1，
f（x）_min=f（1）=2．
又f（0）=3，f（2）=3，
∴1≤m≤2．

点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．