Question

（12分）（2010•安徽）已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率．

（1）求椭圆E的方程；

（2）求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；

（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）2x﹣y﹣1=0；

（3）BC中点为（2，3）与A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．

【解析】

试题分析：（1）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2，3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；

（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；

（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入，求得BC中点代入直线2x﹣y﹣1=0上，即可得到结论．

【解析】
（1）设椭圆方程为

∵椭圆E经过点A（2，3），离心率

∴，

∴a2=16，b2=12

∴椭圆方程E为：；

（2）F1（﹣2，0），F2（2，0），

∵A（2，3），

∴AF1方程为：3x﹣4y+6=0，AF2方程为：x=2

设角平分线上任意一点为P（x，y），则．

得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0

∵斜率为正，∴直线方程为2x﹣y﹣1=0；

（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，∴

∴直线BC方程为代入得x2﹣mx+m2﹣12=0，

∴BC中点为

代入直线2x﹣y﹣1=0上，得m=4．

∴BC中点为（2，3）与A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．