Question

（10分）（2004•北京）已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y2=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

（2）求线段BC中点M的坐标

（3）求BC所在直线的方程．

 

Answer 1

（1）抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为（8，0）

（2）（11，﹣4）

（3）4x+y﹣40=0．

【解析】

试题分析：（1）由点A（2，8）在抛物线y2=2px上，将A点坐标代入，易求出参数p的值，代入即得抛物线的方程和焦点F的坐标；

（2）又由，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合，由重心坐标公式，易得线段BC中点M的坐标；

（3）设出过BC中点M的直线方程，根据联立方程、设而不求、余弦定理易构造关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，进而可以得到直线的方程．

【解析】
（1）由点A（2，8）在抛物线y2=2px上，有82=2p•2解得p=16

所以抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为（8，0）

（2）如图，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，AM是BC上的中线，由重心的性质可得；

设点M的坐标为（x0，y0），则解得x0=11，y0=﹣4所以点M的坐标为（11，﹣4）

（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．

设BC所成直线的方程为y+4=k（x﹣11）（k≠0）

由消x得ky2﹣32y﹣32（11k+4）=0

所以由（2）的结论得解得k=﹣4

因此BC所在直线的方程为y+4=﹣4（x﹣11）即4x+y﹣40=0．