Question

如图，四边形ABCD是正方形，PD∥MA，MA⊥AD，PM⊥平面CDM，MA=

1

2

PD．
（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面AMPD；
（Ⅱ）若BC与PM所成的角为45°，求二面角M-BP-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）首先利用已知条件中的线面垂直转化出线线垂直，再进一步转化出面面垂直．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，再利用法向量知识求出结果，及相关的向量的夹角和数量积．

解答： 证明：（ I）∵PM⊥平面CDM，且CD?平面CDM，
∴PM⊥CD，
又ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，而梯形AMPD中PM与AD相交，
∴CD⊥平面AMPD，
又CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面AMPD
解：（ II）∵CD⊥平面AMPD，则CD⊥PD，CD⊥AD，
又PD∥MA，MA⊥AD，
∴PD⊥AD，
以点D为原点，DA，DP，DC依次为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设MA=

1

2

PD=1，AD=a．
则A（a，0，0），M（a，1，0），B（a，0，a），C（0，0，a），P（0，2，0）．

PM

=(a，-1，0)，

BC

=(-a，0，0)，
由BC与PM所成的角为45°，
得|cos＜

PM

，

BC

＞|=

a2

a2+1 •|a|

=

2

2

解得a=1
∵

BP

=(-1，2，-1)，

PM

=(1，-1，0)，
求得平面MBP的一个法向量是

n1

=(1，1，1)；

BC

=(-1，0，0)，

BP

=(-1，2，-1)，
求得平面CBP的一个法向量是

n2

=(0，1，2)；
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1+2

3 • 5

=

15

5

，
故二面角M-BP-C的余弦值为-

15

5

．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的相互转化，面面垂直的判定定理，二面角的平面角的做法，法向量，空间直角坐标系及相关的运算问题，属于基础题型．