Question

已知函数f（x）=1+3•（

1

2

）^x，若不等式f（x）+f（x+2）≤k对于任意的x≥0总成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可知，当x≥0时，f（x）=1+3•（

1

2

）^x，从而有f（x）+f（x+2）=2+

15

4

•（

1

2

）^x≤k在（0，+∞）上恒成立，从而转化为求解2+

15

4

•（

1

2

）^x在（0，+∞）上的最大值．

解答： 解：当x≥0时，f（x）+f（x+2）=1+3•（

1

2

）^x+1+3•（

1

2

）^x+2=2+

15

4

•（

1

2

）^x，
又∵函数y=（

1

2

）^x在[0，+∞）上单调递减，
∴（

1

2

）^x≤1，
∴f（x）+f（x+2）≤2+

15

4

≤

23

4

，
又由已知f（x）+f（x+2）≤k对于任意的x≥0总成立，
∴k≥

23

4

，
因此所求实数k的取值范围是[

23

4

，+∞）．

点评：本题主要考查了函数的性质，将函数的恒成立的问题的解决常转化为求解函数的最值．