Question

已知函数f（x）=a-

2

3x+1

是在R上的奇函数，
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性；
（3）若对于任意实数t∈

1

，

2

，不等式f（t+2）+f（k•t²-1）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由奇函数的性质，可得f（0）=0，解得a=1，再检验即可；
（2）运用指数函数的单调性和单调性的性质，即可判断；
（3）运用奇函数和单调性，即可得到k•t²-1＞-t-2，则k＞-

1

t2

-

1

t

对于任意实数t∈

1

，

2

成立，求出右边的最大值即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=a-

2

3x+1

是在R上的奇函数，
则有f（0）=0，即a-

2

30+1

=0，解得，a=1，
f（x）=1-

2

3x+1

=

3x-1

3x+1

，f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

1+3x

=-f（x），则f（x）为奇函数，
故a=1；
（2）由于f（x）=1-

2

3x+1

，在R上3x递增，

2

3x+1

递减，
则f（x）在R上递增；
（3）不等式f（t+2）+f（k•t²-1）＞0恒成立，即为
f（k•t²-1）＞-f（t+2）=f（-t-2），
由f（x）在R上递增，即有k•t²-1＞-t-2，
则k＞-

1

t2

-

1

t

对于任意实数t∈

1

，

2

成立，
而-

1

t2

-

1

t

=-（

1

t

+

1

2

）²+

1

4

，
由于

1

t

∈[

1

2

，1]，则t=2取得最大值，且为-

3

4

．
则k＞-

3

4

．
即有k的取值范围是（-

3

4

，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查恒成立思想转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．