Question

13．已知直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t为参数），若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．则直线l和圆C的位置关系为相交（填相交、相切、相离）．

Answer 1

分析 求出直线l的直角坐标方程和圆C的直角坐标方程，求出圆心C（1，1）到直线l：2x-y+1=0的距离d，由d小于圆半径得到直线l和圆C相交．

解答 解：直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：2x-y+1=0，
圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
∴$ρ=2\sqrt{2}（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）$=2sinθ+2cosθ，
∴ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴x²+y²=2y+2x，
∴（x-1）²+（y-1）²=1．
∵圆心C（1，1）到直线l：2x-y+1=0的距离d=$\frac{|2-1+1|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜1=r，
∴直线l和圆C相交．
故答案为：相交．

点评 本题考查直线和圆的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式、两点间距离公式的合理运用．