题目内容

2．类比实数的运算性质猜想复数的运算性质：
①“mn=nm”类比得到“z1z2=z2z1”；
②“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|z1•z2|=|z1|•|z2|”；
③“|x|=1⇒x=±1”类比得到“|z|=1⇒z=±1”
④“|x|2=x2”类比得到“|z|2=z2”
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是（　　）
A．1B．2C．3D．0

分析 根据类比的性质结合复数的基本运算分别进行判断即可．

解答 解：设z1=a+bi，z2=c+di，z=x+yi，
①“mn=nm”类比得到“z1z2=z2z1”；正确，∵z1z2=（a+bi）（c+di）=ac-bd+（ad+bc）i，z2z1=ac-bd+（ad+bc）i，∴z1z2=z2z1成立；
②“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|z1•z2|=|z1|•|z2|”；正确，∵z1z2=（a+bi）（c+di）=ac-bd+（ad+bc）i，
则|z1z2|=$\sqrt{（ac-bd）^{2}+（ad+bc）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}{c}^{2}+{b}^{2}{d}^{2}+{a}^{2}{d}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}}$，|z1|•|z2|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$•$\sqrt{{c}^{2}+{d}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}{c}^{2}+{b}^{2}{d}^{2}+{a}^{2}{d}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}}$，则“|z1•z2|=|z1|•|z2|”；成立，
③“|x|=1⇒x=±1”类比得到“|z|=1⇒z=±1”错误，当z=cosθ+isinθ时，也满足|z|=1，故③错误，
④“|x|2=x2”类比得到“|z|2=z2”错误比如当x=i时，不成立，
故选B．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及复数的基本运算和性质以及类比推理，根据复数的性质是解决本题的关键．

练习册系列答案
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