Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，且A₁A=4．梯形ABCD的面积为6，且AD∥BC，AD=2BC，AB=2．平面A₁DCE与B₁B交于点E．
（1）证明：EC∥A₁D；
（2）求点C到平面ABB₁A₁的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）通过证明BE∥平面AA₁D．BC∥平面AA₁D，然后证明平面BCE∥平面ADA₁，利用平面与平面平行的性质定理证明：EC∥A₁D；
（2）法一：直接利用等体积方法，VC-A1AB=VA1-ABC，即可求点C到平面ABB₁A₁的距离．
法二：证明CF⊥面A₁ABB₁，即线段CF的长为点C到平面ABB₁A₁的距离．利用S△ABC=

1

2

S△ACD=

1

3

S梯形ABCD=2又S△ABC=

1

2

AB•CF，求出CF=2，即点C到平面ABB₁A₁的距离为2．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：因为BE∥AA₁，AA₁?平面AA₁D，BE?平面AA₁D，所以BE∥平面AA₁D．（1分）
因为BC∥AD，AD?平面AA₁D，BC?平面AA₁D，所以BC∥平面AA₁D．（2分）
又BE∩BC=B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，所以平面BCE∥平面ADA₁．（4分）
又平面A₁DCE∩平面BCE=EC，平面A₁DCE∩平面A₁AD=A₁D，
所以EC∥A₁D．（6分）
（2）解法一：因为S_梯形ABCD=6，BC∥AD，AD=2BC，
所以S△ABC=

1

2

S△ACD=

1

3

S梯形ABCD=2．（9分）
因为A₁A⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，所以A₁A⊥AB．
所以S△A1AB=

1

2

A1A•AB=4．（10分）
设点C到平面ABB₁A₁的距离为h，因为VC-A1AB=VA1-ABC，（12分）
所以

1

3

h•S△A1AB=

1

3

A1A•S△ABC，（13分）
所以h=2，即点C到平面ABB₁A₁的距离为2．（14分）
解法二：如图，在平面ABC中，作CF⊥AB于F．（7分）
因为A₁A⊥底面ABCD，CF?底面ABCD，
所以CF⊥A₁A．（8分）
又A₁A∩AB=A，所以CF⊥面A₁ABB₁．（9分）
即线段CF的长为点C到平面ABB₁A₁的距离．
因为S_梯形ABCD=6，BC∥AD，AD=2BC，
所以S△ABC=

1

2

S△ACD=

1

3

S梯形ABCD=2（12分）
又S△ABC=

1

2

AB•CF，（13分）
所以CF=2，即点C到平面ABB₁A₁的距离为2．（14分）

点评：本题考查平面与平面平行的性质定理的应用，点到平面的距离的求法，考查计算能力以及空间想象能力．