Question

求证（a＞0，a≠1）：
（1）log_a（n²+n+1）+log_a（n-1）=log_a（n³-1）（n＞1）；
（2）log_a（b^s+b^-s+2）+log_a（b^s+b^-s-2）=2log_a（b^s-b^-s）（b＞1，s＞0）．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由立方差公式可得（n²+n+1）×（n-1）=（n³-1），进而根据对数的运算性质可得：当n＞1时，log_a（n²+n+1）+log_a（n-1）=log_a（n³-1）
（2）由平方差公式和完全平方公式可得（b^s+b^-s+2）（b^s+b^-s-2）=（b^s+b^-s）²-2²=（b^s-b^-s）²，进而根据对数的运算性质可得：当b＞1，s＞0时，log_a（b^s+b^-s+2）+log_a（b^s+b^-s-2）=2log_a（b^s-b^-s）

解答： 解：（1）∵（n²+n+1）×（n-1）=（n³-1），
∴当n＞1时，log_a（n²+n+1）+log_a（n-1）=log_a[（n²+n+1）（n-1）]=log_a（n³-1）
（2）∵（b^s+b^-s+2）（b^s+b^-s-2）=（b^s+b^-s）²-2²=（b^s-b^-s）²，
∴当b＞1，s＞0时，
log_a（b^s+b^-s+2）+log_a（b^s+b^-s-2）=log_a[（b^s+b^-s+2）（b^s+b^-s-2）]=log_a（b^s-b^-s）²=2log_a（b^s-b^-s）．

点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，立方差公式，平方差公式和完全平方公式，难度不大，属于基础题．