Question

函数f（x）=x+

k

x

，（k＞0）的图象如图所示，
①指出函数f（x）的定义域，值域．
②指出函数f（x）的单调性．
③证明：当k=1时，f（x）在（0，1）上是单调递减的函数．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：①②由图象直接读出即可；③先把k=1代入，得到f（x）的表达式，通过求导得出函数的单调性．

解答： 解：①函数f（x）的定义域是：（-∞，0）∪（0，+∞），值域是：（-∞，-2

k

]∪[2

k

，+∞）；
②函数f（x）在（-∞，-

k

]和[

k

，+∞）递增，在（-

k

，0）和（0，

k

）递减；
③当k=1时，f（x）=x+

1

x

，f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，
当x∈（0，1）时：x²-1＜0，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是单调递减的函数．

点评：本题考查了函数的定义域，值域问题，考查了函数的单调性，考查了数形结合思想，是一道基础题．