Question

求下列函数的值域：
（1）y=-2sin²x+2cosx+2；
（2）y=3cosx-

3

sinx，x∈[0，

π

2

]；
（3）y=sinx+cosx+sinxcosx．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题

分析：（1）由解析式的特点设t=cosx，由余弦函数的值域求出t的范围，利用配方法对解析式进出化简，根据二次函数的性质求出函数的最值，即求出函数的值域；
（2）直接利用两角和的余弦函数，化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，通过x的范围求出函数的值域．
（3）令t=sinx+cosx，推出t²=1+2sinxcosx，化简y=sinx+cosx+sinxcosx为y=

1

2

（t+1）²-1．根据t的范围求出函数的最值；

解答： 解：（1）y=-2sin²x+2cosx+2=2cos²x+2cosx
设t=cosx，则t∈[-1，1]，代入函数解析式得，y=2t²+2t，
∴由函数的图象可知，函数取最小值是

4ac-b2

4a

=-

1

2

，当t=1时，函数取最大值是4，
∴函数的值域是[-

1

2

，4]．
（2）y=3cosx-

3

sinx=2

3

cos（x+

π

6

）．
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]
∴cos（x+

π

6

）∈[

1

2

，

3

2

]
故y=3cosx-

3

sinx=2

3

cos（x+

π

6

）的值域为[

3

，3]
（3）令t=sinx+cosx，则有t²=1+2sinxcosx，即sinxcosx=

t2-1

2

．
有y=f（t）=t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²-1．又t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴-

2

≤t≤

2

．故y=f（t）=

1

2

（t+1）²（-

2

≤t≤

2

），
从而知：f（-1）≤y≤f（

2

），即-1≤y≤

2

+

1

2

．即函数的值域为[-1，

2

+

1

2

]．

点评：本题考查三角函数的化简求值、函数的值域，考察计算能力，属于中档题．