Question

6．已知双曲线x²-y²=1，点F₁，F₂为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F₁⊥PF₂，则以F₁，F₂为焦点且经过P的椭圆的离心率等于（　　）

• A． .$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． .$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． .$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． .$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据双曲线方程为x²-y²=1，可得焦距，因为PF₁⊥PF₂，所以|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²．再结合双曲线的定义，得到||PF₁|-|PF₂||=2，最后联解、配方，可得（|PF₁|+|PF₂|）²=12，从而得到|PF₁|+|PF₂|的值，即可求出以F₁，F₂为焦点且经过P的椭圆的离心率．

解答 解：∵双曲线方程为x²-y²=1，
∴a²=b²=1，c²=a²+b²=2，可得|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$，
∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=8
又∵P为双曲线x²-y²=1上一点，
∴||PF₁|-|PF₂||=2a=2，
∴（|PF₁|-|PF₂|）²=4，
因此（|PF₁|+|PF₂|）²=2（|PF₁|²+|PF₂|²）-（|PF₁|-|PF₂|）²=12
∴|PF₁|+|PF₂|的值为2$\sqrt{3}$，
∴以F₁，F₂为焦点且经过P的椭圆的离心率$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选B．

点评 本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和、以F₁，F₂为焦点且经过P的椭圆的离心率，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于中档题．