Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是 (为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为

（Ⅰ）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，点是线段的中点，直线与轴交于点，求.

Answer 1

【答案】（I）曲线C：，直线l：；

（II）

【解析】

（Ⅰ）由同角的平方关系，化简可得曲线的普通方程，由极坐标和直角坐标的关系：，，结合两角和的余弦公式，可得直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）求得的坐标，设出直线的参数方程，代入曲线的方程，运用韦达定理和中点公式，计算可得所求值．

解：（Ⅰ）曲线的参数方程是 (为参数)，

可得，

则曲线C的普通方程为，

直线l的极坐标方程为，，

即，

由，可得

；

（II）由直线l的方程，可得，

设直线l的参数方程为（为参数），

将该参数方程代入圆，

可得，

则

，

，

则.