Question

【题目】设，函数.

（1）当时，求在内的极值；

（2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）极大值是，无极小值；（2）

【解析】

（1）当时，可求得，令，利用导数可判断的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；

（2）表示出，并求得，由题意，得方程有两个不同的实根，，从而可得△及，由，得．则可化为对任意的恒成立，按照、、三种情况分类讨论，分离参数后转化为求函数的最值可解决；

（1）当时，.

令，则，显然在上单调递减，

又因为，故时，总有，所以在上单调递减.

由于，所以当时，；当时，.

当变化时，的变化情况如下表：

	+		-
	增	极大	减

所以在上的极大值是，无极小值.

（2）由于，则.由题意，方程有两个不等实根，则，解得，且，又，所以.

由，，可得

又.将其代入上式得：.

整理得，即

当时，不等式恒成立，即.

当时，恒成立，即，令，易证是上的减函数.因此，当时，，故.

当时，恒成立，即，

因此，当时，所以.

综上所述，.