Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是边的中点.平面平面，，.线段上的点满足.

（1）证明：面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

（1）连接交于，连接，根据相似三角形和比例关系，证得，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面；

（2）以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）证明：连接交于，连接，

因为是菱形，且是的中点，所以，且，

又由已知，于是，所以，

又平面，平面，所以平面.

（2）作的中点，连接，则，知在平面内.

又由题知，，于是，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，故，，

在菱形中，，所以，

以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，

因为，，

所以为正三角形，，

于是，，，，

所以，.

由，且，可得，故，

由，知平面，

所以是平面的一个法向量，

则，

故直线与平面所成角的正弦值为.