Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆过定点，且在轴上截得的弦长，设动圆圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作直线交曲线于两点，问在曲线上是否存在一点，使得点在以为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点满足题设.

【解析】

（1）首先设圆心，作于点，由题知得到，化简即可得到点的轨迹方程.

（2）首先设出直线方程，联立抛物线方程得到，.假设存在，满足题设，得到，计算即可得到点坐标.

（1）由题知：

设圆心，作于点.

由题知

所以，即点的轨迹抛物线.

（2）设直线方程为，，，

联立得，，

，，.

，.

假设存在一点，满足题设，则，.

，.

.

解得，代入，得到点满足题意.

综上：存在，使得点在以为直径的圆上.