Question

【题目】已知函数．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若不等式对任意恒成立，求正整数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）1

【解析】

（1）求出切线斜率，切点坐标，即可求得切线方程；

（2）分离参数得对恒成立，构造新的函数，对求导，得，再构造函数.再求，分析的单调性，利用零点存在定理发现在区间上存在一个零点，由得.同时可得时，单调递增，时，单调递减，则，则.又因为，m为正整数，所以的最小值是1.

解：（1），

切线的斜率为，

又，

所求切线的方程为；

（2）当时，整理可得，

令，则，

令，则，

由，得，

当时，，函数单调递减，

，，

在区间上存在一个零点，

此时，即，

当时，，即，函数单调递增，

当时，，即，函数单调递减，

有极大值，即最大值为

，

则，

，

正整数的最小值是1.