Question

【题目】已知函数f（x）=ex[ x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]，其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值；
（2）关于x的不等式f（x）＜﹣ ex在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；
（3）讨论函数f（x）极值点的个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ex[ x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]的导数为

f′（x）=ex（ x3﹣x2+ax﹣a），

图象在x=0处的切线斜率为﹣a，

切线与直线x+y=0垂直，可得﹣a=1，

解得a=﹣1；

（2）解：关于x的不等式f（x）＜﹣ ex在（﹣∞，2）上恒成立，

即为 x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣ ＜0在x＜2恒成立．

即有 x3﹣2x2+4x﹣ ＜a（2﹣x），

令x﹣2=t（t＜0），可得﹣a＜ ，

令g（t）= ，t＜0，

g′（t）= = ＜0，

即g（t）在t＜0递减，可得g（t）＞0，

可得﹣a≤0，即a的取值范围是[0，+∞）

（3）解：由f（x）的导数为f′（x）=ex（ x3﹣x2+ax﹣a），

令h（x）= x3﹣x2+ax﹣a，由h（x）=0，

即为a（x﹣1）=x2﹣ x3，

若x=1时，方程不成立；

若x≠1时，a= ，

令m=x﹣1，可得h（m）=

= = ，

h′（m）= ，

当m＞0即x＞1时，h（m）递减，m＜﹣1时，h（m）递增，

﹣1＜m＜0时，h（m）递减．

则当a＞0时，a=h（m）有一个解，f（x）有一个极值点；

当a＜0时，a=h（m）有三个解，f（x）有三个极值点．

综上可得，a=0时，f（x）有一个极值点；

a＞0时，f（x）有一个极值点；

a＜0时，f（x）有三个极值点

【解析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a的值；（2）由题意可得 x3﹣2x2+4x﹣ ＜a（x﹣2），令x﹣2=t（t＜0），运用参数分离和构造g（t），求得单调性，可得a的范围；（3）求出函数的导数，令h（x）= x3﹣x2+ax﹣a，由h（x）=0，即为a（x﹣1）=x2﹣ x3 ， 运用参数分离，求得令m=x﹣1，可得h（m）= ，求得h（m）的单调区间，可得a的范围，即有f（x）的极值点的个数．