题目内容
【题目】如图，已知三棱锥P－ABC，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点．求证：平面DEF∥平面ABC.
【答案】见解析
【解析】
对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,利用平面向量基本定理证明e∥平面DEF,l平面DEF,即l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC∥平面DEF..
证明如图:设
=a,
=b,
=c, 
则
=2a,
=2b,
=2c,
所以
=b-a,
=c-a,
=2b-2a,
=2c-2a,
对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一实数对(x,y),使e=x+y=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2x+2y,因此e与
共面,即e∥平面DEF,所以l平面DEF,即l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC∥平面DEF.
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