Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对于任意x∈[

1

2

，3]都有f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接根据函数是奇函数，满足f（-x）=-f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到关于a，b的两个等式，解方程组求出a，b的值．
（2）利用减函数的定义即可证明．
（3））f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，等价于f（kx²）＞-f（2x-1）=f（1-2x），即k＜

1-2x

x2

成立，设g（x）=

1-2x

x2

，
换元使之成为二次函数，再求最小值．

解答： 解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0⇒

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
f（x）=

-2x+1

2x+1+a

，又由f（1）=-f（-1）⇒

-2+1

4+a

=

- 1 2 +1

1+a

，解得a=2．
（2）证明：由（1）可得：f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

．
?x₁＜x₂，∴2x2＞2x1＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在R上是减函数．
（3）∵函数f（x）是奇函数．
∴f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，等价于f（kx²）＞-f（2x-1）=f（1-2x）成立，
∵f（x）在R上是减函数，∴kx²＜1-2x，
∴对于任意x∈[

1

2

，3]都有kx²＜1-2x成立，
∴对于任意x∈[

1

2

，3]都有k＜

1-2x

x2

，
设g（x）=

1-2x

x2

，
∴g（x）=

1-2x

x2

=(

1

x

)2-2(

1

x

)，
令t=

1

x

，t∈[

1

3

，2]，
则有g(t)=t2-2t，t∈[

1

3

，2]，∴g（x）_min=g（t）_min=g（1）=-1
∴k＜-1，即k的取值范围为（-∞，-1）

点评：本题主要考查了奇函数的性质，以及应用性质求参数的值，属于函数性质的应用．解决第二问的关键在于先得到函数的单调性．