Question

为改善购物环境，提高经济效益，某商场决定投资800万元改造商场内部环境，据调查，改造好购物环境后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的顾客人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+

8

x

（千人），且每位顾客人均购物金额数g（x）近似地满足g（x）=143-|x-22|（元）．
（1）求该商场第x天的销售收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，∈N^*）的函数关系；
（2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，商场决定以每日纯收入的5%收回投资成本，试问商场在两年内能否收回全部投资成本．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意p（x）=f（x）g（x），代入化简即可；
（2）由分段函数可知，要分段求函数的最小值，从而求出函数的最小值，转化为实际问题即可．

解答： 解：（1）p（x）=f（x）g（x）=（8+

8

x

）（143-|x-22|）
=

8x+ 968 x +976，(1≤x≤22，x∈N*) -8x+ 1320 x +1312(22＜x≤30，x∈N*)

（1≤x≤30，x∈N^*）；
（2）①当1≤x≤22，x∈N^*时，
p（x）=8x+

968

x

+976≥1152（当且仅当8x=

968

x

，即x=11时，等号成立），
②当22＜x≤30，x∈N^*时，
p（x）=-8x+

1320

x

+1312在（22，30]上单调递减，
则p（x）≥p（30）=1116，
则最低日收入为1116千元，
该商场在两年内能收回的投资为：
1116×20%×5%×365×2=8146.8（千元）＞800（万元）；
故该商场在两年内能收回全部投资成本．

点评：本题考查了学生实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了分段函数的最值问题，利用了基本不等式及函数的单调性求最值，属于中档题．