Question

15．某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如图，已知分数在100-110的学生数有21人．
（1）求总人数N和分数在110-115分的人数n；
（2）现准备从分数在110-115的n名学生（女生占$\frac{1}{3}$）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率；
（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x（满分150分），物理成绩y进行分析，如表是该生7次考试的成绩．

数学	88	83	117	92	108	100	112
物理	94	91	108	96	104	101	106

已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂）…（u_n，v_n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\stackrel{∧}{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）求出该班总人数、分数在110-115内的学生的频率，即可得出分数在110-115内的人数；
（2）利用列举法确定基本事件的个数，即可求出其中恰好含有一名女生的概率；
（3）分别求出回归学生的值，代入从而求出线性回归方程，将x=130代入，从而求出y的值．

解答 解：（1）分数在100-110内的学生的频率为P₁=（0.04+0.03）×5=0.35，所以该班总人数为$N=\frac{21}{0.35}=60$，
分数在110-115内的学生的频率为P₂=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，分数在110-115内的人数n=60×0.1=6．
（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，
设男生为A₁，A₂，A₃，A₄，女生为B₁，B₂，
从6名学生中选出3人的基本事件为：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，A₄），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂）共15个．
其中恰 好含有一名女生的基本事件为
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₂），（A₂，B₁），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），共8个，
所以所求的概率为$P=\frac{8}{15}$．
（3）$\overline x=100+\frac{-12-17+17-8+8+12}{7}=100$；
$\overline y=100+\frac{-6-9+8-4+4+1+6}{7}=100$；
由于x与y之间具有线性相关关系，
根据回归系数公式得到$\stackrel{∧}{b}$=0.5，$\stackrel{∧}{a}$=100-0.5×100=50，
∴线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.5x+50，
∴当x=130时，$\stackrel{∧}{y}$=115．

点评 本题考查概率的计算，考查物理成绩y与数学成绩x的线性回归方程，考查学生的计算能力，是中档题．