Question

11．设函数$f（x）=|{\frac{1}{x}-1}|$（x＞0）．
（1）写出函数f（x）的单调区间（不要求推理过程）；
（2）是否存在正实数m，n（m＜n），使函数f（x）的定义域为[m，n]时值域为$[\frac{m}{3}，\frac{n}{3}]$？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的性质进行求解即可．
（2）根据函数定义域和值域的关系建立方程组关系进行求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）的单调递减区间是（0，1]（或（0，1）），单调递增区间是（1，+∞）（或[1，+∞））                                              …（4分）
（2）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1\\ 1-\frac{1}{x}\end{array}\right.$，$\begin{array}{l}x∈（0，1]\\ \\ x∈（1，+∞）\end{array}$…（6分）
∴若存在符合题意的m，n，则
①当0＜m＜n≤1时，有$\left\{\begin{array}{l}f（m）=\frac{1}{m}-1=\frac{n}{3}\\ f（n）=\frac{1}{n}-1=\frac{m}{3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}3-3m=mn\\ 3-3n=mn\end{array}\right.$
解得m=n，这与m＜n相矛盾                        …（8分）
②当0＜m＜1＜n时，由于$f（1）=0∈[\frac{m}{3}，\frac{n}{3}]$
∴$\frac{m}{3}$≤0＜$\frac{n}{3}$，即m≤0＜n，这与m＞0相矛盾      …（10分）
③当1≤m＜n时，有$\left\{\begin{array}{l}f（m）=1-\frac{1}{m}=\frac{m}{3}\\ f（n）=1-\frac{1}{n}=\frac{n}{3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-3m+3=0\\{n^2}-3n+3=0\end{array}\right.$
∴m，n是方程x²-3x+3=0的两根
∵△=（-3）²-4×3=-3＜0
∴x²-3x+3=0没有实根，即不存在满足题设的正实数m，n
…（13分）
综上所述可知不存在正实数m，n满足题设．…（14分）

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及函数值域的求解和应用，建立方程关系是解决本题的关键．