Question

设A、B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．

Answer 1

解析：(1)由题意知a＝2，所以一条渐近线为y＝x，

即bx－2y＝0，所以＝，

所以b²＝3，所以双曲线的方程为－＝1.

(2)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，D(x₀，y₀)，

则x₁＋x₂＝tx₀，y₁＋y₂＝ty₀，

将直线方程代入双曲线方程得x²－16x＋84＝0，

则x₁＋x₂＝16，y₁＋y₂＝12，

所以解得

所以t＝4，点D的坐标为(4，3)．