Question

已知正方体内接于球O，则所有正方体的表面及球O的球面都相切的最大的球的体积之和与球O的体积之比为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离,球

分析：假设正方体棱长是1，则其对角线为

3

，由正方体的对角线即为球的直径，可得球O的半径，再由六个与正方体的表面及球O的球面都相切的最大的球，半径则为

1

2

×（

3

2

-

1

2

），再由球的体积公式，计算即可得到．

解答： 解：假设正方体棱长是1，则其对角线为

3

，
则球O的半径为

3

2

，
则六个与正方体的表面及球O的球面都相切的最大的球的半径为

1

2

×（

3

2

-

1

2

）=

3 -1

4

，
则其总体积为6×

4π

3

×（

3 -1

4

）³=

3 3 -5

4

π，
而球O的体积为

4π

3

•（

3

2

）³=

3

2

π，
则其比值为

3 3 -5

2 3

=

9-5 3

6

．
故答案为：（9-5

3

）：6．

点评：本题考查正方体与外接球的关系，考查球与正方体的表面和球面相切的关系，考查球的条件公式的运用，考查运算能力，属于中档题．