题目内容
设f（x）=
+1，当x∈（1，+∞）时，求f（x）的值域．
| lnx |
| x-1 |
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：先求导，再构造函数，再求导，判断出函数f（x）的单调性，再根据洛必达法则求出极限，继而得到函数的最值，问题得以解决
解答：
解：∵f（x）=
+1，
∴f′（x）=
，
令g（x）=1-
-lnx，
∴g′（x）=
-
=
＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴g（x）＜g（1）=1-1=0，
∴f′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，
根据洛必达法则，
∴
=
=1，
=
=0，
∴f（x）的最大值为1+1=2，最小值为0+1=1，
故函数的值域为（1，2）
| lnx |
| x-1 |
∴f′（x）=
1-
| ||
| (x-1)2 |
令g（x）=1-
| 1 |
| x |
∴g′（x）=
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
| 1-x |
| x2 |
∴g（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴g（x）＜g（1）=1-1=0，
∴f′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，
根据洛必达法则，
∴
| lim |
| x→1 |
| lnx |
| x-1 |
| lim |
| x→1 |
| 1 |
| x |
| lim |
| x→∞ |
| lnx |
| x-1 |
| lim |
| x→∞ |
| 1 |
| x |
∴f（x）的最大值为1+1=2，最小值为0+1=1，
故函数的值域为（1，2）
点评：本题的考点是利用导数求函数的单调性，以及洛必达法则求函数的极限，属于中档题
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=
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