Question

12．若f（x）=x³-3x+m有且只有一个零点，则实数m的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 求出f（x）的极值，令极大值小于零或极小值大于零即可．

解答 解：f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0得x=±1．
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴当x=-1时，f（x）取得极大值f（-1）=2+m，当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=-2+m．
∵f（x）=x³-3x+m有且只有一个零点，
∴2+m＜0或-2+m＞0，解得m＜-2或m＞2．
故答案为（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性与极值，函数的零点个数判断，属于中档题．