Question

4．已知函数f（x）=2x²+e^x-$\frac{1}{3}$（x＜0）与g（x）=2x²+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是a＜e${\;}^{\frac{2}{3}}$．

Answer 1

分析 令f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有解，得ln（x+a）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{3}$有正数解，作出两函数图象，根据图象判断特殊点位置即可得出a的范围．

解答 解：由题意可知f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有解，即2x²+$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{3}$=2x²+ln（x+a）在（0，+∞）上有解，
∴ln（x+a）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{3}$有正数解．
作出y=ln（x+a）与y=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{3}$的函数图象，则两图象在（0，+∞）上有交点，

显然，当a≤0时，两图象在（0，+∞）上恒存在零点，
当a＞0时，若两图象在（0，+∞）上存在零点，则lna$＜\frac{2}{3}$，
解得0＜a＜e${\;}^{\frac{2}{3}}$．
综上，a＜e${\;}^{\frac{2}{3}}$．
故答案为：$a＜{e^{\frac{2}{3}}}$．

点评 本题考查了方程根与函数图象的关系，属于中档题．