某班50名学生在一次百米测试中.成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13.14).第二组[14.15).-.第五组[17.18].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(Ⅰ)根据频率分布直方图.估计这50名学生百米测试成绩的中位数和平均数．(Ⅱ)若从第一.五组中随机取出三名学生成绩.设取自第一组的个数为ξ.求ξ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计这50名学生百米测试成绩的中位数和平均数（精确到0.1）．
（Ⅱ）若从第一、五组中随机取出三名学生成绩，设取自第一组的个数为ξ，求ξ的分布列，期望及方差．

分析（I）利用加权平均数公式计算；
（II）根据超几何分布概率公式计算概率，得出分布列，再计算均值和方差．

解答解：（Ⅰ）$\overline x=13.5×0.06+14.5×0.16$+15.5×0.38+16.5×0.32+17.5×0.08=0.81+2.32+5.89+5.28+1.4=15.7，
中位数为：$15+\frac{0.5-0.06-0.16}{0.38}$≈15.7．
（Ⅱ）第一组人数为0.06×1×50=3人，第五组人数为0.08×1×50=4人．
∴ξ的可能取值为0，1，2，3．
$P（{ξ=0}）=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，$P（{ξ=1}）=\frac{C_3^1C_4^2}{C_7^3}=\frac{18}{35}$，$P（{ξ=2}）=\frac{C_3^2C_4^1}{C_7^3}=\frac{12}{35}$，$P（{ξ=3}）=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$，
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

∴$Eξ=0×\frac{4}{35}+1×\frac{18}{35}+2×\frac{12}{35}$$+3×\frac{1}{35}=\frac{45}{35}=\frac{9}{7}$．
$Dξ={（{0-\frac{9}{7}}）^2}×\frac{4}{35}+{（{1-\frac{9}{7}}）^2}×\frac{18}{35}$$+{（{2-\frac{9}{7}}）^2}×\frac{12}{35}+{（{3-\frac{9}{7}}）^2}×\frac{1}{35}$=$\frac{840}{{{7^2}×35}}=\frac{24}{49}$．

点评本题考查了离散型随机变量的分布列，频率分布直方图，属于中档题．