题目内容

14．已知a＞2，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x+x-3（x＞0）}\\{x-（\frac{1}{a}）^{x}+3（x≤0）}\end{array}\right.$，若f（x）有两个零点分别为x1，x2，则（　　）
A．?a＞2，1＜x1+x2＜2B．?a＞2，x1+x2=1C．?a＞2，|x1-x2|=2D．?a＞2，|x1-x2|=3

分析 判断f（x）的单调性，求出x1的值和x2的范围，得出答案．

解答 解：∵a＞2，
∴f（x）在（-∞，0]上单调递增，在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上各有1个零点，
不妨设x1＞0＞x2，
∵f（2）=log22+2-3=0，∴x1=2，
∵f（-1）=-1-a+3=2-a＜0，f（0）=2，
∴-1＜x2＜0，
∴1＜x1+x2＜2，2＜x1-x2＜3，
故选A．

点评 本题考查了函数单调性的判定，零点存在性定理，属于中档题．

练习册系列答案
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4．已知函数f（x）=2x2+ex-$\frac{1}{3}$（x＜0）与g（x）=2x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是a＜e${\;}^{\frac{2}{3}}$．
5．对任意k∈R，直线y=klog2x-2总过一个定点，该定点坐标为（　　）
A．（1，-2）B．（-1，2）C．（2，-1）D．（-2，-1）
2．设数列{an}的前n项和是Sn，满足$n（{{S_{n+1}}+{S_{n-1}}-2{S_n}}）=2+{a_n}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，a1=1，a2=2，则当n≥2时，Sn=n2-n+1．
9．函数$f（x）={cos^2}（ωx-\frac{π}{6}）-{cos^2}ωx$，其中ω＞0，它的最小正周期π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{4}$个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标变为原来的2倍，所得到的图象对应的函数记为g（x），求g（x）在区间$[{-\frac{π}{24}，\frac{π}{4}}]$上的最大值和最小值．
19．已知$\vec a=（{{x^2}，2x}）$，$\vec b=（{1，tanθ}）$，函数$f（x）=\vec a•\vec b-1$，$x∈[-1，\sqrt{3}]$，其中$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
（1）当$θ=-\frac{π}{6}$时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间$[-1，\sqrt{3}]$上是单调的．
6．已知点P是△ABC内一点（不包括边界），且$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，m，n∈R，则（m-2）2+（n-2）2的取值范围是$（\frac{9}{2}，8）$．
3．$\int\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}（{e^x}+2x）dx$=e．
4．（1）求C${\;}_{n+1}^{m}$÷（C${\;}_{n}^{m}$+C${\;}_{n}^{m-1}$）（m，n∈N*）的值．
（2）用数学归纳法证明二项式定理：（a+b）n=C${\;}_{n}^{0}$an+C${\;}_{n}^{1}$an-1b+…+C${\;}_{n}^{r}$an-rbr+…+C${\;}_{n}^{n}$bn（n∈N*，r∈N，0≤r≤n）．

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