Question

设0≤α≤π，不等式x²-（2sinα）x+

1

2

cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：数形结合,函数思想

分析：看成是关于x的二次函数，由于对称轴大于等于零，所以只要△≤0，或者函数的最小值≥0．

解答： 解：令f（x）=x2-(2sinα)x+

1

2

cos2α，对称轴为x=sinα≥0，0≤α≤π，
∴对x∈R，f（x）≥0恒成立，
即△=4sin²α-2cos2α≤0，
∴2sin²α-（1-2sin²α）≤0，解得sin2α≤

1

4

，
∴0≤sinα≤

1

2

，即α∈[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π]．
故答案为：[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π]．

点评：本题是考查二次函数的值域问题，由数形合很容易得出等价条件．